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第一类错误是
 假设检验
真实情况为 h0成立(即 θ∈嘷0)，但判断 h0不成立，犯了“以真为假”的错误。 第二类错误是 h0实际不成立(即 θ∈嘷1)，但判断它成立，犯了“以假为真”的错误（见表）。这里嘷0，嘷1分别是使假设 h0成立或不成立的 θ的集合，显然嘷=嘷0+嘷1。当 θ∈嘷0，样本 X(即 X1， X2，…， Xn组成的向量)∈HR，其概率 Pθ( X∈HR)就是犯第一类错误的概率 α；
 假设检验
当 θ∈嘷1，样本 X∈HA，其概率就是犯第二类错误的概率 β。通常人们不希望轻易拒绝 h0，例如工厂的产品一般是合格的，出厂进行 抽样检查时不希望轻易地被认为不合格，
 假设检验
于是在限定犯第一类错误的概率不超过某个指定值 α（称为检验水平）的条件下，寻求犯第二类错误的概率尽可能小的检验方法。为了描述检验的好坏，称θ的函数 Pθ( X∈HR)为检验的功效函数。例如上述 产品检验的例子中，所采用的检验可以是：当样品中的废品个数超过一定限度时，认为该批产品不合格，否则就认为合格。这个检验的功效函数有图示的形状，图中的 p0、 p1、 α、 β根据需要选定。这种图形清楚地描述了犯两类错误的概率。
优良性准则 基于奈曼－皮尔森理论及 统计决策理论，可以提出一些准则，来比较为检验同一假设而提出的各种检验。较重要的准则有：
 假设检验
一致最大功效(UMP)准则 欲检验 h0: θ∈嘷0， h1: θ∈嘷1；当给定检验水平 α后，在所有满足的可供选择的检验HR中，是否有一个最好的，亦即：是否存在拒绝域H，使得对于所有 θ∈嘷1及一切检验水平为 α的H皆有。若这样的检验存在，则称HR为检验水平 α的一致最大功效检验，简称UMP检验。奈曼与皮尔森在1933年提出了著名的奈曼-皮尔森引理。这是对 简单假设寻求UMP检验的一个构造性的结果，即
 假设检验
此时 似然比检验就是UMP检验。对某些 复合假设也找到了 UMP检验，但并不是所有情况都存在 UMP检验。因此有必要在对检验作某些限制下寻找最大功效检验或建立另外一些优良性准则。
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